INTRODUCCIÓN AL CALCULO

INTRODUCCIÓN AL CALCULO
Para iniciar con este tema te presentamos una breve introducción que muestra la conclusión más importante del trabajo que realizaste con los problemas de máximos y mínimos, que se relaciona con el problema de dibujar rectas tangentes a la gráfica de una función; asimismo, se hace una reseña histórica respecto de sus intentos de resolución; también encontrarás un esquema que indica los contenidos matemáticos que estudiarás en esta unidad.
El análisis de los problemas de optimización que hemos realizado hasta el momento nos lleva a la conclusión de que para resolverlos debemos utilizar un méto­do para localizar el punto más alto o más bajo de la gráfica en el que si se dibujara una recta tangente sería hori­zontal.
El problema de encontrar rectas tangentes a curvas ha ocupado la atención de muchos matemáticos a lo largo de la historia. Al principio no hubo un enfoque único y se idearon numerosos métodos para construir tan­gentes a ciertas curvas especiales; por ejemplo, los geómetras de la anti­gua Gre­cia encontraron los métodos para construir rectas tangentes a las cónicas (circunfe­rencia, parábola, elipse e hipérbola).
Estos métodos son particu­lares para cada cónica, ya que están apoyados en propieda­des geométricas exclusivas de cada una y no funcionan para otro tipo de curva. Consi­derados de ma­nera aislada, estos procedi­mientos son muy interesantes, toda vez que sirven como ejerci­cios extra­ordinarios de razo­namien­to geomé­trico; pero en conjunto arrojan poca luz acerca de la esencia de las tangentes, porque cada proce­dimiento se aplica a un tipo particular de curvas.
La invención de la geometría analítica por el francés René Descartes (1596-1650) a principios del Siglo XVII impulsó notablemente la elabora­ción de un método más general para construir tangentes a cur­vas. Descar­tes ideó un procedimiento conocido hoy en día con el nombre de Método de las Raíces Iguales, que en su tiempo representó un verdadero adelanto en la búsqueda de un proceso uniforme para encontrar rectas tangentes a curvas, aplicable a todas las curvas que pueden ser representadas con una ecuación de segundo grado; sin embargo éste falla cuando se consideran curvas de tercer o mayor grado.

Pierre de Fermat encontró la solución
La solución al problema de las tangentes tuvo que esperar unos años más hasta que el francés Pierre de Fermat (1601-1655), considerado uno de los más notables matemáticos del Siglo XVII, desarrolló un proceso para determi­nar la fórmula que calcula la pendiente de cualquier recta tangente a cualquier tipo de curva. La idea desarro­llada por este científico es en realidad muy simple y resultó ser tan general que contribuyó en la elaboración de un método de resolución de los problemas de optimización.

En esta unidad te enfocarás al análisis detallado del Método de Fermat para trazar rectas tangen­tes a dife­ren­tes curvas. Te permitirá continuar con el estudio de las funciones, además de acercarte a los conceptos matemáticos del límite y la derivada. Al resolver el problema de trazar rectas tangentes a la gráfica de una función podrás retornar a solucionar los pro­blemas de optimización que trabajaste en la unidad anterior.

Por el Profesor: Juan Fco. J. Ríos Viramontes